同じ量を何度も測ったとき、いちばん確からしい値をどう決めるか。等精度なら答えはシンプルで、算術平均です。残差という重要な概念もここで登場します。
茶谷 結
先生、繰り返し観測したときの『いちばん確からしい値』は、どう決めるのですか?
白河 恭子 先生
それが最確値ね、結さん。
同じ精度で測った等精度観測なら、答えはシンプル。
ぜんぶ足して個数で割る、算術平均でいいのよ。
橙川 こよみ
うぅ〜ん…真の値そのものは、わからないのぉ?
白河 恭子 先生
真値は残念ながら知り得ないの。
だから最も確からしい値、最確値で代用するのよ。
等精度なら平均がそれになるわ。
墨谷 まる
平均でいいの? なんか拍子抜けじゃん。
でもラクでいいや!
茶谷 結
補足すると、各観測値から最確値を引いた差を残差と呼びます。
これが次の標準偏差の計算につながる、という理解で合っていますか?
白河 恭子 先生
そのとおり。
そして大事な性質が一つ。
等精度観測なら、残差を全部足すとちょうどゼロになるの。
プラスとマイナスがつり合うのよ。
墨谷 まる
へぇ〜、残差の合計がゼロ! それ検算に使えそうじゃん。
白河 恭子 先生
いいところに気づいたわね、まる。
平均を出したあと残差の和がゼロにならなかったら、どこかで計算ミスをしている合図なの。
橙川 こよみ
最確値=平均、残差=観測値−最確値、残差の合計はゼロ…えへへ、つながってきたのぉ。
確認クイズ
等精度で5回観測した値の最確値と残差に関する説明として、正しいものはどれか。
- 最確値は観測値の中央値である
- 最確値は算術平均で求め、残差の総和はゼロになる
- 残差は観測値どうしの差である
- 最確値は真値そのものである
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正解: 2. 最確値は算術平均で求め、残差の総和はゼロになる
等精度観測の最確値は算術平均(Σx/n)で求め、各観測値と最確値の差である残差の総和はゼロになります(選択肢2が正しい)。残差は観測値と最確値の差であり(選択肢3は誤り)、真値は知り得ないため最確値はあくまでその代用です(選択肢4は誤り)。