ばらつきの大きさを数値で表すのが標準偏差です。観測値1個の標準偏差は m=±√(Σv²/(n−1))。nではなく n−1 で割る点に注意して、実際に手を動かしましょう。
橙川 こよみ
先生、残差が出たら、次は標準偏差なのぉ? 式が難しそう…
白河 恭子 先生
大丈夫よ、こよみ。
観測値1個の標準偏差は、m = ±√(Σv²/(n−1))。
残差を2乗して合計し、(n−1)で割って平方根、それだけなの。
茶谷 結
補足すると、n−1で割るのがポイントですね。
観測回数nではなく、1つ少ないn−1で割る、という点で合っていますか?
白河 恭子 先生
そのとおり、結さん。
この標準偏差は、観測値1個あたりのばらつきの大きさを表すのよ。
墨谷 まる
じゃあ実際に計算しよ! 5回測った残差が、+30、−20、+10、−10、−10 mmだったとするじゃん?
茶谷 結
まず残差の和を確かめます。
+30−20+10−10−10 = 0。
ゼロなので最確値の計算は正しいですね。
橙川 こよみ
次は残差の2乗和…30²+20²+10²+10²+10² = 900+400+100+100+100 = 1600 なのぉ!
白河 恭子 先生
きれいね。
ではmを求めると?
(n=5だからn−1=4)
墨谷 まる
m = ±√(1600 ÷ 4) = ±√400 = ±20mm! おぉ、ぴったり!
白河 恭子 先生
正解よ、まる。
検算は、残差の和がゼロだったこと。
これがずれていたら、そもそも平均を間違えている合図なの。
確認クイズ
等精度で4回観測し、残差が+2、−1、−2、+1 (mm)であった。観測値1個の標準偏差mはいくらか。
- ±1.0mm
- ±√(10/3) ≒ ±1.8mm
- ±10mm
- ±2.5mm
こたえを見る
正解: 2. ±√(10/3) ≒ ±1.8mm
残差の2乗和 Σv² = 2²+1²+2²+1² = 4+1+4+1 = 10(mm²)。観測値1個の標準偏差は m = ±√(Σv²/(n−1)) = ±√(10/(4−1)) = ±√(10/3) ≒ ±1.8mm です。nではなくn−1(=3)で割る点が要です。残差の総和は +2−1−2+1=0 で検算も合っています。