長い距離を何区間かに分けて測ると、偶然誤差は単純な足し算では増えません。区間数の平方根、√n に比例します。この誤差の伝播を数値で体感しましょう。
墨谷 まる
先生、長い距離を何区間かに分けて測ると、誤差ってどんどん増えるの?
白河 恭子 先生
増えるけれど、単純な足し算ではないのよ、まる。
これが誤差の伝播ね。
偶然誤差は、区間数の平方根、√nに比例して大きくなるの。
茶谷 結
補足すると、1区間の偶然誤差をmとすると、n区間の全体誤差は M = m×√n になる、という理解で合っていますか?
白河 恭子 先生
そのとおり。
プラスとマイナスの偶然誤差が部分的に打ち消し合うから、n倍ではなく√n倍で済むの。
ここが大事なところね。
橙川 こよみ
うぅ〜ん…数字で見たいのぉ。
白河 恭子 先生
いいわね。
1区間の偶然誤差が±3mm、区間数が10だとしましょう。
√10=3.162が与えられるわ。
全体の誤差は?
墨谷 まる
M = 3mm × √10 = 3 × 3.162 = 9.486…だいたい ±9.5mm か! 10倍じゃなくて3倍ちょいで済むんだ。
白河 恭子 先生
正解よ、まる。
もし単純にn倍だと±30mmになるところが、√n倍なら±9.5mm。
この差は大きいわね。
茶谷 結
検算は、Mを2乗すると n×m² に戻るかどうかで確かめられますね。
橙川 こよみ
M²=10×3²=90、√90=9.49…えへへ、ちゃんと戻るのぉ。
確認クイズ
1区間あたりの偶然誤差が±2mmの区間を、16区間つないで距離を測った。全体の偶然誤差はいくらか。
- ±2mm
- ±8mm
- ±32mm
- ±16mm
こたえを見る
正解: 2. ±8mm
偶然誤差は区間数の平方根に比例します。全体の偶然誤差 M = m×√n = ±2mm × √16 = ±2×4 = ±8mm です。単純な16倍(±32mm)ではなく、√16=4倍で済む点がポイントです。